"Hard" tilings • Khaidar Nurligereev • Populære vitenskapsoppgaver på "Elements" • Matematikk

«Hard» fliser

oppgave

Det er lett å flette flyet med identiske trekantede fliser (figur 1, venstre). En slik ordning er egnet for enhver trekant. Vi kan si at denne fliser er "ikke-stiv" i den forstand at hvis vi litt forandrer proporsjonene av trianglene (de må fortsatt være like), så får vi igjen en flislegging av flyet i henhold til denne ordningen (figur 1, høyre).

Fig. 1.

Men det skjer på en annen måte. Se på bildet. 2: her er også alle trekanter lik, men denne ordningen fungerer bare for helt bestemte proporsjoner av trekanter. Vi kan si at en slik tilting er "hard".

Fig. 2.

a) Forutsatt at alle trekanter i fig. 2 er like finne deres vinkler og aspektforhold. Bevis detat fra figuren de er bestemt utvetydig.

b) Kom opp med "hard" flislegging av like konvekse firkanter.

c) Kom opp med "hard" flislegging av like pentagoner (ikke nødvendigvis konveks).


Tips 1

a) For å oppnå den betingelsen at trekantens vinkler må tilfredsstille, er det tilstrekkelig å bruke det faktum at summen av vinklene ved siden av hvert toppunkt er 360 °. Og for å søke etter forhold på sidene, er det nyttig å vurdere segmenter dannet av flere sider av tilstøtende trekanter.

Vær oppmerksom på at vinklene og sidene ikke kan endres uavhengig av hverandre, de er sammenhengende. Videre er forholdet mellom vinkler og aspektforhold en-til-en. Faktisk, å vite aspektforholdet, kan du bestemme verdiene av vinklene med cosinusetningen. Og å vite vinklene, kan du finne aspektforholdet med sinusetsormen. For å løse problemet er det derfor nok å finne bare to ligninger på sider eller vinkler.


Tips 2

b), c) Den grunnleggende ideen er som følger. For at flisene skal være "tøffe", må kopiene av samme flis som er inkludert i den, være i kontakt med hverandre på så mange måter som mulig. Da vil hver slik metode gi en viss ligning for vinkler og sider, og jo flere likninger – jo mindre grader av frihet.

Det er flere måter å prøve å konstruere en slik flis på, og kopier av disse kan brukes på forskjellige måter. En av dem er å pålegge noen karakteristiske begrensninger på flisen. For eksempel, søk etter det i klassen av polygoner med parallelle sider. Eller blant flisene, hvilke sider er like. Det kan også være lurt å vurdere vinkler som deler 360 ° og er flere av dem.

En annen mulig måte er å prøve å bruke allerede kjente tegninger, for eksempel som i fig. 3. Da må du prøve å lage en ny flis fra flere fliser eller fliser som er inkludert i den opprinnelige belegningen. Og bare da fra kopiene av den resulterende flisen for å legge ned den "harde" belegningen, i konturene som den opprinnelige belegningen vil gjettes.

Fig. 3.


beslutning

a) Angi sider og hjørner av en trekantet flis som vist til venstre på fig. 4. Da vurderes segmentet som er dannet av sidene av fire trekanter (i midten i figur 4), til å få et forhold til sidene: en + c = 2b. Og når vi ser på toppen der de tre trekantene konvergerer (på høyre side i figur 4), forstår vi at 2y = 180 °. Dermed er y = 90 °, det vil si trekanten er rektangulær. Derfor tilfredsstiller den Pythagorasetningen: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Fig. 4.

Nå, for å finne de ønskede relasjonene, ganske enkle beregninger:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Herfra får vi

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Følgelig er trekantens vinkler like \ {\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ sirk}. \)

b) Tenk på en rektangulær trapesformet sammensatt av en firkant og en høyre trekant, lik halvparten av denne firkanten (figur 5, venstre). Kopier av denne trapesen kan festes til hverandre på mange forskjellige måter.Siden vi vil at den resulterende belegningen skal være "hard", må vi for en start gjøre slike konfigurasjoner fra de angitte trapesformede fliser som vil definere sidens forhold og trapesformens vinkler utvetydig. Dette er lett å oppnå. For eksempel setter sammen tallene på fire fliser vist på fig. 5, vil vi oppnå likningen γ = δ = 90 °, og etter å ha gjort et kryss fra åtte fliser, oppnår vi tilstanden a = 45 °. Hvis fra tre fliser å samle figuren vist på fig. 5 til høyre, deretter likestilling 2en = b.

Fig. 5.

Selvfølgelig, hvis et firkantet tilfredsstiller de ovennevnte fire likeverdene, representerer det helt sikkert vår rektangulære trapesform. Derfor vil enhver flislegging der alle de ovennevnte konfigurasjonene oppstår, sikkert vise seg å være "vanskelig" i den forstand at det ifølge samme skjema ikke vil være mulig å brette flisene fra hvilken som helst annen firkant. Det finnes utallige lignende fliser; for eksempel er slik tegningen vist på fig. 6.

Fig. 6.

Merk at selv om flisene i fig. 6 i henhold til vår definisjon av "hard", er det lett utsatt for deformasjon: du kan fritt bevege flisene,plassert i samme horisontale eller vertikale rad langs den tilsvarende rette linjen. Dette kan unngås ved å legge dem på en annen måte. For eksempel, som vist i fig. 7.

Fig. 7.

c) I hjertet av tegningene vist i fig. 6 og fig. 7, kan du gjette standard parkett av firkanter (figur 3, høyre). Vi vil vise hvordan på samme måte man kan få et "hardt bilde" av nonconvex-pentagoner ved å bruke fliser med vanlige trekanter som grunnlag (figur 3, venstre). For å gjøre dette, ta en flis bestående av to vanlige trekanter og to halvdeler av slike trekanter (figur 8, venstre).

Fig. 8.

Som i forrige avsnitt, spesifiserer vi først fire konfigurasjoner som definerer flisen vi vurderer unikt. De er vist på fig. 8. Den første av dem setter vinkelen ε = 90 °. Den andre lar deg skrive forholdet 3y + 2ε = 360 °, og siden vinkelen e er allerede fast, får vi γ = 60 °. På samme måte gir den tredje konfigurasjonen likestilling a + y + 3ε = 360 °, hvorfra α = 30 °. Endelig lar sistnevnte konfigurasjon oss forstå at β + 2y = 360 °, det vil si β = 240 °. Når det gjelder vinkelen δ, bestemmes den basert på det faktum at summen av vinklene på pentagonen er 540 ° og δ = 120 °.

Fig. 9.

Det viser seg at kun konfigurasjonen vist i midten på fig. 8, nok for likestilling b = e = en = d. Derfor definerer de fire konfigurasjonene egentlig den pentagonale flisen unikt. Dermed gjenstår det å gi et eksempel på en fliser som inkluderer dem alle. Ved konstruksjonen hjelper ideen om å bygge striper: For det første, med kopier av fliser, genererer vi en uendelig stripe som kan brukes til seg selv (figur 9). Og så dekker vi hele flyet med slike striper (figur 10). Vi noterer oss den brede bruken av ideen om å designe striper: En lignende "stripet" struktur har begge fliser som vi bygde opp når vi løste poenget b)og generelt består enhver periodisk belegring faktisk av bånd. Saken er imidlertid ikke begrenset til periodiske tegninger (som det kan observeres for eksempel i Polamimina Parqueta-problemet).

Fig. 10.

I vårt eksempel er flisen ikke konveks, men dette er absolutt ikke en forutsetning for å generere en "hardbelegg". Vurder den femkantede flisen vist på fig. 11 – Den består av en firkant og to høyre trekanter med en mindre vinkel på 22,5 °.Det viser seg at kopier av en slik flis også kan fliser på et "hardt" fly, som vist til høyre i fig. 11. Sann, dette er noe vanskeligere å bevise enn "stivhet" av teglene som vi oppdaget tidligere. Likevel, la oss skissere hovedpoengene i dette beviset.

Fig. 11.

Først av alt, fra ordningen ifølge hvilket flisene er stablet, er det klart at sidene tilfredsstiller forholdene en = e = b og c = b + d. Når det gjelder hjørnene, kan fire ligninger kompileres på dem, hvorfra det er klart at a = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° og β + 180 ° = 2γ. Derfor kan vi ved å angi vinkelen φ = δ / 2 uttrykke de andre vinklene gjennom den:

\ [\ alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ sirk} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varpsilon = 2 \ varphi. \]

Nå er hovedideen som følger. For flisene er "tøffe", er det nødvendig at han mangler grader av frihet. For tiden har flisene våre to parametere som vi kan variere: vinkel φ og aspektforhold en og d. Disse endringene kan imidlertid ikke være vilkårlig, fordi parametrene er sammenhengende. Hvis vi etter at vi har analysert naturen til denne forbindelsen, viser at bare et begrenset antall mulige vinkler og aspektforhold realiseres for denne ordningen, så vil det umiddelbart følge at ønsket flislegging er "hard".

Vi introduserer notasjonen som vist nederst til venstre i fig. 11. Fordi CDEF – likevekt trapes, deretter base

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Derfor kan vi finne forholdet mellom segmenter en og duttrykker et segment BF av kosinasetningen i trekanter ABF og CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformere, får vi

\ [dfrac {d ^ 2} {a ^ 2 = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

På den annen side kan vi finne forholdet mellom segmentene en og duttrykker et segment AC av kosinasetningen i trekanter ABC og AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Hvis \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), det vil si hvis femkantet er forskjellig fra vårt, kommer vi til følgende ligning:

\ {d \ u003e} % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Spesielt kan det ses herfra at dette bare er mulig med \ (\ cos2 \ varphi <0 \), og

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2 {{2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Den siste ligningen kan bare ha et begrenset antall løsninger. Dermed er belegget i spørsmålet "hardt".


etterord

Alle tegningene som er diskutert ovenfor som en del av denne oppgaven, brukte i utgangspunktet en enkelt polygon flis. Vi kopierte denne flisen og så dekket hele flyet med kopier uten hull og overlegg. Slike fliser kalles monoedralnymiog den underliggende polygonen er protoplitkoy. Som vi har sett, til og med til tross for forbudet mot bruk av fliser av forskjellige typer, var de resulterende bildene svært forskjellige. I mange tilfeller viser tilingene med denne protoplitten seg å være uendelig mange, dessuten – deres utallige tall. På samme tid, for andre protoplices (som for eksempel en vanlig sekskant), er fliser unikt, og noen protoplits tillater ikke fliser i det hele tatt.

Det ville være naturlig å spørre hvordan, ved formen av et gitt polygon, å forstå om det er mulig å flette et fly med kopiene. Imidlertid er algoritmen som vil tillate å svare på dette spørsmålet, har mottatt en flis ved inngangen, og ved utgangen som har gitt resultatet "ja" eller "nei", er ukjent for menneskeheten. Videre er det alvorlige grunner til å tvile på at det eksisterer i prinsippet. Vi vil kort diskutere hva som kan forstyrre dette. For dette vil det være nyttig å minst overfladisk bli kjent med gruppen av symmetrier av tegninger.

symmetri Denne flisingen kalles en slik bevegelse av flyet, som oversetter denne fliser til seg selv. Grovt sett, hvis du så på vippingen i lang tid, så vendte du bort,men noen bak ryggen flyttet alle flisene slik at for det første bevares avstandene mellom flisene, og for det andre vrir du deg og du kan ikke finne forskjellen – dette er symmetri. Hvis det er to un-directed parallelle oversettelser i settet av alle symmetrier av en flis, blir denne flisingen kalt periodisk. For eksempel er flisene i fig. 6, 7, 10 og 11, og alle de flisene vi har diskutert så langt. Men i alle disse eksemplene er det enkelt å omorganisere fliser slik at denne egenskapen ikke lenger er gyldig.

Periodiske tegninger er preget av tilstedeværelsen av den såkalte grunnleggende område – En slik delmengde av fliser som alle baner kan fås ved parallelle overføringer av denne delmengden (dette er bare våre "band" som ble nevnt i vedtaket). Derfor, for å prøve å svare på spørsmålet om det er mulig å bane hele flyet med kopier av denne protoplika, er det ganske naturlig å oppføre seg som følger. Det er nødvendig å gå gjennom alle mulige alternativer, bli med i flisene med hverandre, og hvis det på et tidspunkt oppstod et grunnleggende område, så er det flislegging.Og hvis vi lister alle alternativene, men vi finner ikke et grunnleggende område, tillater ikke denne proto-flisene fliser.

Denne søkemetoden har imidlertid en betydelig ulempe. Plutselig viste vår protoplika seg å være periodisk, det vil si at det er mulig å bane hele flyet med sine kopier, men alle disse flisene er ikke-periodiske? Da kommer alle måter å bli med på flisene sammen, aldri gjennom, fordi de kan dekke et stykke av god størrelse. Men vi vil heller ikke kunne finne et grunnleggende område fordi det ikke er periodisk vipping. Så vi vil gå gjennom alternativene til uendelig og aldri stoppe.

Om det er aperiodiske protoplits, er det for tiden ikke kjent for visse – postulere dette faktum conway hypotesen ennå ikke bevist. Så det er fortsatt en sannsynlighet for at ovennevnte algoritme gjør det mulig for oss å svare på spørsmålet om det er mulig å konstruere en belegning basert på denne protoplitten eller ikke. Men i et tredimensjonalt rom ble en lignende hypotese løst positivt, og også på Lobachevsky-planet. I tillegg koster det oss å øke antall brukte protoplices til to, da vi umiddelbart oppdager et eksempel på et aperiodisk sett – den berømte Penrose-mosaikken (figur 12).

Fig. 12. Penrose mosaikk.Bilde fra ru.wikipedia.org

Hvis det ikke er noen sikkerhet om det alltid er mulig å forstå fra en gitt flis, om den innrømmer planleggingen av flyet eller ikke, bør du prøve å vurdere et mindre generelt tilfelle og pålegge noen restriksjoner på protoplika. Først av alt antar vi at alle polygoner som utgjør flisene er konvekse. Denne tilstanden viser seg å være ganske sterk: det viser seg at antall sider av en konveks prototype som tillater belegg ikke overstiger 6. Men her er det også alvorlige vanskeligheter.

Fig. 13.

Det er enkelt å forsikre seg om at hele flyet kan dekkes med kopier av hvilken som helst trekant, så vel som med kopier av en hvilken som helst firkant – her er det ikke nødvendig med konveksitetstilstand (figur 13). Men med pentagoner er alt ikke så enkelt. Studien av monohedrale tegninger av pentagoner har en rik historie, og selv nå er det ingen fullstendig sikkerhet at denne oppgaven har funnet sin logiske konklusjon. Tilsynelatende var Carl Reinhard den første som klassifiserte i 1918, og markerte fem typer konvekse femkantede fliser (figur 14). Hver type ble preget av et bestemt sett av forhold på sider og hjørner, som igjen ga en viss frihet – alle disse flisene var "ikke-stive".Et halvt århundre senere, i 1968, informerte Richard Kirchner verden om oppdagelsen av tre flere typer tegninger, og hevdet at alt sammen er utmattet med disse åtte typene. Imidlertid hadde han feil: i 1975 fant Richard James, etter å ha lest en artikkel av den berømte vitenskapspublikanten Martin Gardner, en annen type. Men en ekte gjennombrudd de neste to årene ble laget av husmoren Marjorie Rice som leste samme artikkel – hun klarte å finne så mange som fire nye typer monohedrale fliser med konvekse pentagoner.

Fig. 14. 15 monohedrale fliser av flyet med pentagoner. Bilde fra forbes.com

Historien endte imidlertid ikke der: Den fjortende fortau ble funnet av Rolf Stein i 1985 – i motsetning til alle tidligere, var det "tøft". Og tretti år senere oppdaget en gruppe forskere som består av Casey Mann, Jeniffer MacLeod og David von Durey, ved hjelp av datamaskinberegninger, det femtende fortauet, som heller ikke hadde noen grad av frihet. Til slutt, i 2017, ga Michael Rao bevis for at det ikke finnes andre femkantede fliser. For å bevise det brukte Rao imidlertid et spesielt skrevet dataprogram, noe som forårsaker en viss skepsis i en del av det vitenskapelige samfunn, selv om det var uavhengig reprodusert og verifisert.

En annen tilnærming til klassifisering av monoedrale fliser er basert på det faktum at vi fokuserer på flisens egenskaper i forhold til symmetri-gruppen. Hvis for to fliser i fortau, det er en symmetri som tar den første flisen til den andre, så kalles en slik flis isohedral. Mer generelt sier vi det hoper k-isohedralhvis settet av fliser er brutt inn i k klasser under handlingen av en symmetri gruppe. For eksempel er flisene i fig. 13 er isohedral, fordi hver flis kan omdannes til noen annen ved parallell overføring (slike fliser er malt i en farge) eller ved rotasjon (slike fliser er malt i forskjellige farger). Og baner på ris. 11 er allerede 2-isohedral: flisene malt gul kan forvandles til hverandre slik at flisene er selvkombinerende, akkurat som de blå fliser kan oversettes til hverandre, men den blå flisen kan ikke oversettes til gul. Andre fliser vi så i løsningen er også k-isohedral for forskjellige k. For å se dette, redraverer vi dem slik at flisene kan oversettes til hverandre av flisesymmetrien da og bare hvisnår de er malt i en farge (som det var med belegget av tilstanden, som, som vi nå forstår, er 3-isohedral). Etter å ha gjort dette ser vi det for en av dem k = 8 (figur 15, venstre), for den andre k = 16 (figur 15, høyre), og for den tredje k = 10 (figur 15, under).

Fig. 15.

Isoedrale fliser med konvekse polygoner kan klassifiseres. Så, alt er tilgjengelig:

  • 14 isohedral belegning trekantede fliser,
  • 56 isohedral fliser med konvekse firkantede fliser,
  • 24 isohedral flislegging av konvekse femkantede fliser,
  • 13 isohedral fliser med konvekse sekskantede fliser.

I utgangspunktet er de "ikke-stive" (som i flisene vist i figur 13). Men noen av dem under deformasjonen slutter å være isohedral. Slike er for eksempel fliser på fig. 16: Vi kan skifte de horisontale stripene i forhold til hverandre, men etter dette kan trekanten med den horisontale basen ikke omdannes til en trekant med basen hellet av symmetri.

Fig. 16.

Å klassifisere k– isohedral fliser med k > 1 er også mulig. Men så vel som for fliser med ikke-konvekse fliser, er dette mye mer komplisert, og allerede er tilfellet med 2-isohedrale fliser vanskelig å se på grunn av det store antallet forgreningsalternativer. Og om de store verdiene k Vi snakker ikke engang.


Like this post? Please share to your friends:
Legg att eit svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: